ピクミンブルーム デココンプ回数の分布表と偏りについて【クーポンコレクター問題】

ピクミンブルームでデコピクミンをコンプリートするまでにかかる苗取得回数が何回になるかを書き、コンプリート時の各デコピクミンの偏り具合を見ていきます。

 

※本記事で使う用語: 平均値、中央値、最頻値について

  • 平均値(期待値):回数×そのときの確率をすべての回数で足し合わせた値
  • 中央値:その回数以上になる確率と、その回数以下になる確率がともに0.5以上である回数
  • 最頻値:最も度数の多い、つまり回数ごとの確率を示す棒グラフで一番高い時の回数の値

※コンプリートまでにかかる回数はパラメータ (k-a)/k の幾何分布(0≦a≦k-1)に従う確率変数の和になり、平均値はこれを使って求められる

デココンプ回数の分布表と偏り方について

デコピクミンの種類数が3,4,7,14のときに場合分けして記載します。

3種類の場合

  • 平均: 5.5 回   中央値: 5 回   最頻値: 3, 4 回
  • 分散: 6.75   標準偏差: 2.60

回数ごとの確率(ピッタリその回数でコンプできる確率)

累積分布(x 回以下でコンプリート出来る確率)

x回目までにコンプできる確率表

※累積分布を表にしたものです。

2 回目まで: 0.0 %
3 回目まで: 22.22222222222222 %
4 回目まで: 44.44444444444444 %
5 回目まで: 61.72839506172839 %
6 回目まで: 74.07407407407408 %
7 回目まで: 82.57887517146777 %
8 回目まで: 88.34019204389575 %
9 回目まで: 92.2115531169029 %
10 回目まで: 94.80262155159275 %
11 回目まで: 96.53338752561432 %
12 回目まで: 97.68836051414927 %
13 回目まで: 98.45871884179053 %
14 回目まで: 98.9724165053129 %
15 回目まで: 99.31492342935945 %

20 回目まで: 99.90978148809265 %
偏り方の例

コンプリートしたときの回数と、その場合にどれだけピクミンが偏っているかをコンピューターシミュレーションの出力結果10個分で示します。

例:11 回、 [6, 4, 1]  は11回目でコンプ、赤黄青が6,4,1に偏ったことを示します。

4 回、 [2, 1, 1]
3 回、 [1, 1, 1]
8 回、 [1, 4, 3]
4 回、 [1, 1, 2]
5 回、 [2, 2, 1]
3 回、 [1, 1, 1]
3 回、 [1, 1, 1]
7 回、 [2, 1, 4]
6 回、 [1, 1, 4]
11 回、 [6, 4, 1]

 

4種類の場合

  • 平均: 8.33 回   中央値: 7 回   最頻値: 6 回
  • 分散: 14.44   標準偏差: 3.80

回数ごとの確率(ピッタリその回数でコンプできる確率)

累積分布(x 回以下でコンプリート出来る確率)

x回目までにコンプできる確率表
3 回目まで: 0.0 %
4 回目まで: 9.375 %
5 回目まで: 23.4375 %
6 回目まで: 38.0859375 %
7 回目まで: 51.26953125 %
8 回目まで: 62.29248046875 %
9 回目まで: 71.136474609375 %
10 回目まで: 78.06015014648438 %
11 回目まで: 83.39881896972656 %
12 回目まで: 87.47591972351074 %
13 回目まで: 90.57033061981201 %
14 回目まで: 92.90944039821625 %
15 回目まで: 94.67292577028275 %
16 回目まで: 96.00011687725782 %
17 回目まで: 96.99779888615012 %
18 回目まで: 97.74720476707444 %
19 回目まで: 98.30983137362637 %
20 回目まで: 98.73208742865245 %

25 回目まで: 99.69900049812708 %
30 回目まで: 99.92856772272553 %
偏り方の例

出ないときは他種類5匹になっても特定種類が0のままのことも。

6 回、 [1, 1, 3, 1]
6 回、 [1, 3, 1, 1]
7 回、 [3, 1, 2, 1]
4 回、 [1, 1, 1, 1]
5 回、 [1, 1, 2, 1]
7 回、 [2, 3, 1, 1]
7 回、 [1, 3, 2, 1]
17 回、 [5, 6, 1, 5]
12 回、 [1, 2, 6, 3]
9 回、 [1, 5, 2, 1]

 

7種類の場合

  • 平均: 18.15 回   中央値: 17 回   最頻値: 14 回
  • 分散: 55.93   標準偏差: 7.48

回数ごとの確率(ピッタリその回数でコンプできる確率)

累積分布(x 回以下でコンプリート出来る確率)

x回目までにコンプできる確率表
6 回目まで: 0.0 %
7 回目まで: 0.6119899021666143 %
8 回目まで: 2.4479596086664572 %
9 回目まで: 5.770190506142363 %
10 回目まで: 10.491255465713387 %
11 回目まで: 16.309620104096272 %
12 回目まで: 22.845244044726908 %
13 回目まで: 29.730654528306395 %
14 回目まで: 36.65749237277169 %
15 回目まで: 43.39188263291682 %
16 回目まで: 49.7719823098905 %
17 回目まで: 55.69727113639329 %
18 回目まで: 61.11536513899397 %
19 回目まで: 66.00938106040012 %
20 回目まで: 70.387162811751 %
21 回目まで: 74.27272334102909 %
22 回目まで: 77.69978107148697 %
23 回目まで: 80.70707585218226 %
24 回目まで: 83.33510368557423 %
25 回目まで: 85.62393433687656 %
26 回目まで: 87.61182815894524 %
27 回目まで: 89.33442601060572 %
28 回目まで: 90.82433888810554 %
29 回目まで: 92.11100811268625 %
30 回目まで: 93.22074209219114 %
35 回目まで: 96.83953851336375 %
40 回目まで: 98.53330675218872 %
45 回目まで: 99.32058342021548 %
50 回目まで: 99.68550382254783 %
55 回目まで: 99.85446512697376 %
60 回目まで: 99.9326608640784 %
偏り方の例

平均を超えた後の分布の裾野が広いので、ダメな時はとことんドツボにはまる

 7 回、 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
19 回、 [2, 5, 1, 1, 1, 5, 4]
10 回、 [2, 1, 1, 1, 2, 1, 2]
32 回、 [4, 4, 1, 2, 9, 6, 6]
23 回、 [1, 1, 6, 6, 5, 3, 1]
16 回、 [1, 4, 1, 4, 1, 3, 2]
13 回、 [2, 1, 1, 2, 1, 2, 4]
11 回、 [1, 1, 3, 2, 1, 1, 2]
21 回、 [4, 5, 4, 2, 2, 3, 1]
11 回、 [2, 2, 2, 1, 2, 1, 1]

 

14種類の場合

  • 平均: 45.52 回  中央値: 42 回   最頻値: 37 回
  • 分散: 263.37   標準偏差: 16.23

回数ごとの確率(ピッタリその回数でコンプできる確率)

累積分布(x 回以下でコンプリート出来る確率)

x回目までにコンプできる確率表
13 回目まで: 0.0 %
14 回目まで: 0.0007845413755460157 %
15 回目まで: 0.005884060316595117 %
16 回目まで: 0.02409662796319905 %
17 回目まで: 0.07144930384436927 %
18 回目まで: 0.17172621456635448 %
19 回目まで: 0.3553144717199323 %
20 回目まで: 0.656692697054078 %
21 回目まで: 1.1111969967809676 %
22 回目まで: 1.7517364639319404 %
23 回目まで: 2.605987419378922 %
24 回目まで: 3.694380523714555 %
25 回目まで: 5.028987250698417 %
26 回目まで: 6.613253941026977 %
27 回目まで: 8.442434477549805 %
28 回目まで: 10.504530094905673 %
29 回目まで: 12.781542692607426 %
30 回目まで: 15.250870949090986 %
31 回目まで: 17.886713656808293 %
32 回目まで: 20.66138275446606 %
33 回目まで: 23.54646375863662 %
34 回目まで: 26.51379072918537 %
35 回目まで: 29.536225543841482 %
36 回目まで: 32.588247331817556 %
37 回目まで: 35.64636829988188 %
38 回目まで: 38.689398007925924 %
39 回目まで: 41.69858055768102 %
40 回目まで: 44.657629169384336 %
41 回目まで: 47.55268107984205 %
42 回目まで: 50.372193255221575 %
43 回目まで: 53.10679655267769 %
44 回目まで: 55.74912301910424 %
45 回目まで: 58.29361819845191 %
46 回目まで: 60.73634775828688 %
47 回目まで: 63.07480550491682 %
48 回目まで: 65.30772795400947 %
49 回目まで: 67.43491905133735 %
50 回目まで: 69.45708737033534 %
51 回目まで: 71.37569711500028 %
52 回目まで: 73.19283349049573 %
53 回目まで: 74.91108243219175 %
54 回目まで: 76.53342427180792 %
55 回目まで: 78.06314063552878 %
56 回目まで: 79.50373368623401 %
57 回目まで: 80.85885671729451 %
58 回目まで: 82.13225505961506 %
59 回目まで: 83.3277162611784 %
60 回目まで: 84.44902852678902 %
61 回目まで: 85.49994645520019 %
62 回目まで: 86.4841631737194 %
63 回目まで: 87.40528804093557 %
64 回目まで: 88.26682916207969 %
65 回目まで: 89.0721800355806 %
66 回目まで: 89.824609721401 %
67 回目まで: 90.52725599024325 %
68 回目まで: 91.18312097676134 %
69 回目まで: 91.7950689189783 %
70 回目まで: 92.3658256199643 %

75 回目まで: 94.68764989789345 %
80 回目まで: 96.31301398160437 %
85 回目まで: 97.44557217097623 %
90 回目まで: 98.23231315860816 %
95 回目まで: 98.77770715037055 %
100 回目まで: 99.15527303889168 %

110 回目まで: 99.5969218430338 %
120 回目まで: 99.80779008059896 %
130 回目まで: 99.90837082833474 %
偏り方の例
35 回、 [1, 4, 3, 2, 5, 3, 2, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1]
34 回、 [3, 1, 3, 4, 3, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 1, 5]
34 回、 [1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 1, 2, 5, 2, 1, 3]
33 回、 [1, 3, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2]
28 回、 [2, 2, 4, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3]
40 回、 [3, 4, 1, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 1, 2, 2, 2, 4]
33 回、 [2, 1, 1, 2, 2, 6, 1, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 1]
41 回、 [5, 2, 6, 3, 2, 2, 5, 5, 1, 3, 2, 2, 1, 2]
84 回、 [6, 6, 3, 3, 5, 10, 8, 8, 9, 1, 5, 7, 4, 9]
27 回、 [3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 5]

 

3, 4, 7, 14種類の場合の比較グラフ

全種類での分布の比較

回数ごとの確率(ピッタリその回数でコンプできる確率)

累積分布(x 回以下でコンプリート出来る確率)

3, 4, 7種類での比較

回数ごとの確率

累積分布(x 回以下でコンプリート出来る確率)

7, 14種類での比較

回数ごとの確率

累積分布(x 回以下でコンプリート出来る確率)

 

その他

  • この分布では、一般的に 平均値 > 中央値 > 最頻値 となる
  • 中央値以下の回数でコンプできる確率は0.5ちょい
  • 平均値以下の回数でコンプできる確率は0.6前後(※)

※一般的に、種類数が大きくなると平均値以下の回数でコンプできる確率は約0.57に収束する

詳しくはクーポンコレクター問題

参考サイト

・確率分布の解析値とそれに基づくコンピューターシミュレーション(外部ブログ記事):
クーポンコレクター問題の確率分布を解き明かす

・解析値とそれに基づくコンピューターシミュレーションその2(外部ブログ記事):
クーポンコレクター問題の拡張とその確率分布

・コンピューターシミュレーション(外部Qiita):
クーポンコレクター問題:どうぶつの森で73種類の化石コンプリートには何日かかる?

・解析値や一般化、シミュレーション等(外部HP):
食玩問題

・解析値となる式(外部質問サイト):
この式を見たことがあるという方はいらっしゃいますか。(偶然見つけた式です)

・Wikipedia:
クーポンコレクター問題

・この記事の図や結果を出力するために使用したPythonコード(筆者記事):

クーポンコレクター問題の理論的な解やグラフ、分布関数などを出力するプログラム

 

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